ADMINISTRAÇÃO CONTÁBIL E FINANCEIRA

A duration e um modelo alternativo: um teste empírico

Luiz Francisco Rogé FerreiraI; Ricardo Soares de AndradeII

IEconomista pela USP, Mestrando em Finanças Públicas na EAESP/FGV e Consultor Financeiro. E-mail: lroge@uol.com.br
IIEconomista pela UFMG, Mestrando em Finanças na EAESP/FGV e Consultor de Empresas. E-mail: r.andrade@spi.com.br

 

 


RESUMO

Estratégias de hedge para portfólios de renda fixa são comumente baseadas na duration. Esse conceito foi desenvolvido tendo como pressuposto que alterações nas taxas de juros serão constantes para toda a estrutura a termo da yield curve, ou seja, que os deslocamentos na yield curve serão paralelos. Este artigo pretende testar esse pressuposto para o mercado futuro de DI1 da BM&F, tendo como base o ano de 1996. Além disso, o artigo compara estratégias de hedge baseadas na duration com estratégias cujo balanceamento é dado por um modelo alternativo que incorpora os efeitos de deslocamentos não-paralelos na yield curve.

Palavras-chave: duration, portfólio de renda fixa, hedge, yield curve, balanceamento.


ABSTRACT

Hedging strategies for bond portfolios are usually based on the concept of duration. This concept considers that shifts in the yield curve are the same for all the term structure of interest rates, which means that shifts in the yield curve are parallel. This article intends to test this assumption using the BM&F's interest rate future market in 1996. It also compares hedging strategies based on duration to hedging strategies based on an alternative model, which considers the effects of non-parallel shifts in the yield curve.

Key words: duration, bond portfolio, hedge, yield curve, balance.


 

 

INTRODUÇÃO

Em um artigo publicado em 1938, F. R. Macaulay (1938) definiu pela primeira vez o conceito de duration. Hoje, quase 60 anos depois, esse conceito ainda continua sendo muito utilizado na administração de portfólios de títulos de renda fixa.

O retorno de um título de renda fixa é proporcionado pelos juros pagos por esse título e por mudanças no seu preço. Os juros pagos são definidos previamente e não constituem fonte de incerteza para o investidor. Já as mudanças de preços podem ser provocadas por:

a) passagem do tempo: nesse caso, a mudança no preço também não constitui fonte de incerteza para o investidor, visto que tal alteração pode perfeitamente ser calculada e antecipada.

b) alterações nas taxas de juros: deslocamentos na yield curve implicam alterações na taxa de desconto dos retornos futuros do título, alterando seu valor presente. Como na grande maioria das vezes modificações nas taxas de juros não podem ser antecipadas pelos agentes econômicos, é exatamente nesse fator que reside a maior parte do risco relacionado aos títulos de renda fixa.

O conceito de duration é derivado da relação entre o valor presente de um título e diferentes níveis de taxa de juros e representa a sensibilidade do valor presente do título a variações nessas taxas. Em um título do tipo zero coupon bond, essa sensibilidade é dada pelo prazo de maturidade do título. No caso de títulos do tipo coupon paying bond, a duration é determinada pela média ponderada dos prazos dos fluxos de caixa futuros, sendo a ponderação dada pela relação entre o valor presente do fluxo e o valor presente total do título (inferior, portanto, ao prazo de maturação do título):

em que: C(t) = pagamento no período t
  i = taxa de juros
  P0 = valor presente do título
  t = prazo

A duration, sendo uma medida de elasticidade do valor presente do título de renda fixa, é muito utilizada em estratégias de hedge, em que o administrador deseja eliminar o risco causado pela incerteza quanto às flutuações futuras nas taxas de juros. A proteção contra tais flutuações é feita por meio da teoria da imunização, que consiste em igualar a duration do ativo à duration do passivo de modo que as oscilações nos valores presentes sejam perfeitamente compensadas.

Evidentemente, para que essa compensação seja perfeita, é necessário que se faça o balanceamento entre a duration e o valor do ativo e a duration e o valor do passivo, ou seja:

Essa é a relação utilizada pelos administradores de portfólios de renda fixa para determinar a quantidade de contratos futuros de taxa de juros necessária para "hedgear" uma carteira por imunização.

As relações acima têm como base a seguinte equação:

em que: PV = valor presente do título
  i = taxa de juros
  D = duration do título

Várias críticas são feitas à duration. A mais comum está relacionada com o erro no cálculo da variação do valor presente (APV) quando houver a ocorrência de mudanças significativas nas taxas de juros. Por ser desenvolvido a partir da derivada da curva entre valor presente e taxa de juros, o conceito de duration como sensibilidade do valor presente somente é válido para pequenas alterações nos juros. A convexidade da curva impõe ao modelo erros de previsão quando as alterações são significativas. Para contornar esse problema, muitos analistas introduzem na equação acima uma variável adicional para tentar captar o efeito da convexidade.

Entender a convexidade da curva "PV x Taxa de juros" é importante para estimar não apenas os efeitos de variações não-infinitesimais na taxa de juros mas também os efeitos causados em uma estratégia de hedge quando a convexidade da curva do ativo for diferente da convexidade da curva do passivo. O ideal é que a convexidade da curva do ativo seja superior à do passivo, de modo que, para um dado aumento da taxa de juros, a queda no valor presente do ativo seja inferior à queda no valor presente do passivo e, para uma dada redução na taxa de juros, o aumento no valor presente do ativo seja superior ao do passivo. Se essa situação ideal for conseguida, qualquer alteração não-infinitesimal na taxa de juros trará lucros à posição.

Outra limitação do modelo da duration está relacionada com a pressuposição de que os deslocamentos na yield curve são paralelos, ou seja, que as alterações são idênticas para toda a estrutura a termo das taxas de juros. Se as alterações nas taxas de juros não forem as mesmas para toda a yield curve, a variação do valor presente de um título será diferente da determinada pela sua duration. Isso porque os fluxos futuros que compõem esse título serão afetados de maneira diversa (por diferentes "Δi").

Deslocamentos não-paralelos na yield curve podem implicar, numa estratégia de hedge, que a variação dos juros (Δi) que afeta o valor presente dos títulos que compõem o ativo seja diferente da variação que afeta os contratos futuros (geralmente utilizados em estratégias de hedge) que compõem o passivo, impedindo o perfeito funcionamento da imunização e expondo o investidor novamente ao risco de taxa de juros.

A Figura 1 ilustra a situação. Considerando-se "Y1" como uma yield curve original hipotética, o modelo de duration pressupõe que, dado um aumento na taxa de juros, este será constante para toda a estrutura a termo, deslocando a curva para "Y2". Se a variação na taxa de juros não for a mesma para toda a estrutura a termo, a yield curve apresentará um formato diferente do original, como, por exemplo, "Y3".

O fato de a estrutura a termo da taxa de juros não apresentar um comportamento homogêneo indica a necessidade de se buscar uma adaptação ao cálculo da duration para que seja possível "hedgear" uma carteira de renda fixa de maneira eficaz.

Rogé Ferreira (1997) sugeriu em um artigo um modelo alternativo de duration no qual as variações das taxas de juro a termo para os dois períodos no mercado futuro de DI1 na BM&F possuiriam uma relação dada pela seguinte fórmula:

Na realidade, essa relação está inserida no modelo tradicional de duration, com uma particularidade: no modelo tradicional, o coeficiente angular (β) é sempre igual a 1, o que torna a equação, que é a condição necessária para deslocamentos paralelos na yield curve, equivalente a:

O modelo alternativo incorpora a possibilidade de o β ser diferente de 1. A variação de cada taxa da estrutura a termo da yield curve possuiria, então, seu próprio β, permitindo um melhor entendimento dos deslocamentos não-paralelos da yield curve. Para tanto, o modelo sugere a determinação de um período a ser utilizado como benchmark para os demais. Todas as variações dos demais períodos seriam, então, função da variação no período de benchmark, sendo que essa relação seria dada pelos βn calculados.

Sendo Δibmk a variação no mês de benchmark, tem-se:

em que: Δin = variação na taxa a termo para o n-ésimo mês

Se as variações para as taxas a termo não são iguais, a variação na taxa de juros (Δi) utilizada na equação de duration deve levar em consideração tais diferenças.

Logo,

em que:

Utilizando-se de capitalização contínua:

Quando as diferenças entre os comportamentos das taxas da estrutura a termo dos juros for levada em consideração, a equação do número ótimo de contratos a serem vendidos para "hedgear" uma carteira fica alterada para:

Isso evidencia a importância de tais diferenças para uma estratégia de hedge.

O objetivo do presente artigo é testar esse modelo alternativo de duration no mercado futuro de Di1 da BM&F. O que se pretende é verificar se esse modelo é capaz de captar os deslocamentos não-paralelos da yield curve, permitindo uma melhor aproximação da realidade e fornecendo estratégias de hedge mais eficazes que o modelo tradicional. A escolha do mercado futuro de DI1 da BM&F deve-se ao fato de ser esse mercado uma das principais fontes de hedge para administradores de carteiras de renda fixa no Brasil.

Este trabalho está dividido em três seções. Na primeira seção, serão realizados testes para verificar se os valores dos β das diversas taxas a termo são iguais a 1, como pressupõe o modelo tradicional de duration. Na segunda seção, será desenvolvida uma simulação de uma estratégia de hedge no mercado de Di1 futuro da BM&F no ano de 1996, utilizando-se tanto o modelo tradicional quanto o alternativo. Ainda na segunda seção, serão efetuados testes para se inferir se a estratégia de hedge oferecida pelo modelo alternativo foi -ou não - mais eficaz que a estratégia fornecida pelo modelo tradicional no período analisado. Na última seção, será exposta a conclusão do artigo no que diz respeito à validade do modelo e à sua eficácia.

 

TESTE DO MODELO DE DURATION TRADICIONAL

Como exposto acima, o modelo alternativo proposto procura aprimorar o cálculo da variação da taxa de juros que afeta o valor presente do título, tentando captar as especificidades da estrutura a termo de juros. O principal desenvolvimento do modelo é a flexibilização do β, que o modelo tradicional de duration pressupõe ser igual a 1 para todos os vencimentos.

Tomando-se como base o ano de 1996, foram realizados testes para se aferir a possibilidade de esse coeficiente ser realmente unitário, utilizando-se as taxas a termo do mercado futuro de Di1 para os quatro primeiros vencimentos. O primeiro passo foi realizar regressões lineares entre as alterações diárias nas taxas (retornos) para os quatro primeiros vencimentos, como, por exemplo:

em que:

Δi3� MÊS= diferença entre a taxa a termo para o terceiro mês em um determinado dia e essa mesma taxa no dia anterior (retorno do contrato futuro do terceiro vencimento)
Δi2� MÊS= diferença entre a taxa a termo para o segundo mês em um determinado dia e essa mesma taxa no dia anterior (retorno do contrato futuro do segundo vencimento)

Ao propor o modelo alternativo, Rogé Ferreira sugere, a partir de uma série de regressões, que as variações nas taxas para o segundo mês sejam utilizadas como benchmark para os demais meses. Desse modo, as variações nas taxas a termo do terceiro e quarto meses seriam funções das variações nas taxas a termo do segundo mês (a taxa do primeiro mês é tomada como constante, ou seja, com um β igual a zero).

Desse modo, foram realizadas regressões para o ano de 1996 (Tabelas 1 e 2).

 

 

 

 

Como pode ser visto nas referidas tabelas, a regressão entre as flutuações nas taxas a termo para o terceiro e o quarto mês em relação ao segundo sugere um coeficiente angular diferente de 1. Ao se realizar o teste t de student para a hipótese nula de um β = 1, percebe-se que, em ambos os casos, os P-values obtidos são virtualmente nulos, ou seja, não há possibilidade de o β ser unitário para o período analisado. Com efeito, os intervalos de confiança a 99% não incorporam o número 1.

Vale ressaltar que, para as regressões consideradas, o teste de Durbin-Watson indicou a ausência de resíduos autocorrelacionados, o que permite a realização do teste t de student e a aceitação dos parâmetros calculados pelo método de mínimos quadrados.

Outro teste realizado com os coeficientes estimados foi o teste de Wald, que também trata de hipóteses envolvendo restrições nos coeficientes, porém com a utilização das estatísticas F e χ2. Nesse caso, é importante notar que o modelo tradicional da duration não pressupõe apenas que o coeficiente angular β seja igual a 1, mas também que o intercepto a seja igual a zero.

Por esse motivo, o teste de Wald foi realizado sob duas restrições:

cujos resultados estão na Tabela 3.

 

 

A Tabela 3 mostra que as estatísticas F e χ2 calculadas são elevadas para ambas as regressões, indicando novamente que a probabilidade de que os coeficientes α e β sejam, respectivamente, iguais a 0 e 1 é virtualmente nula.

Os testes realizados mostram claramente que, para o ano de 1996, no mercado futuro de DI1, as estratégias de hedge baseadas na duration tradicional estavam expostas não apenas ao risco relativo à convexidade mas também ao risco relacionado aos deslocamentos não-paralelos da yield curve.

 

SIMULAÇÃO DE UMA ESTRATÉGIA DE HEDGE

Para comparar o modelo tradicional de duration com o modelo alternativo, foi realizada uma simulação de estratégia de hedge para o ano de 1996 no mercado futuro de DI1 da BM&F.

A simulação consistiu na montagem de 12 operações de hedge, com rolagem mensal, de compra do segundo vencimento contra venda do terceiro vencimento. A mesma estratégia foi repetida com compra do terceiro vencimento contra venda do quarto vencimento.

Dessa forma, o que se pretendeu julgar foi se o modelo alternativo baseado nos βn trazia vantagens sobre o modelo tradicional. Para tanto, aproximou-se ao máximo da realidade o cálculo das volatilidades/ mês para cada um dos vencimentos futuros. Usou-se então "ex-post" esses valores como input para o modelo alternativo. Uma vez que o modelo não objetiva a previsão dessas volatilidades, seria possível então compará-lo (numa situação ótima) com o modelo de duration tradicional e avaliar sua aderência.

Usou-se para o cálculo dessas volatilidades o logaritmo natural dos retornos das taxas de juro em todos os meses, dia a dia, dos vários vencimentos futuros. Foram obtidas dessa forma 12 medidas de volatilidade, que foram utilizadas para cálculo dos β correspondentes a cada vencimento de DI1.

Como resultado, foram obtidas as volatilidades diárias em cada mês, conforme mostrado na Tabela 4.

Com isso, foi possível evitar qualquer erro oriundo da estimação da volatilidade e conseguiu-se um cálculo bastante próximo da realidade para os βn. É importante frisar que o valor dos βn é mutável ao longo do tempo, oscilando, portanto, ao longo de cada operação. Devido a isso, ainda existe erro residual no modelo alternativo. Utilizou-se para todas as operações um valor arbitrário de zero para o β do primeiro vencimento.

Na Tabela 5, são mostrados os valores obtidos por cada modelo nas 12 estratégias levadas a efeito.

O resultado assinalado por cada modelo está em unidade de pontos (de PU) recebidos ou perdidos na operação.

Em seguida, foi comparado o resultado obtido mês a mês e calculado um teste de hipótese sobre a diferença das médias de cada modelo, conforme a Tabela 6.

No teste de hipótese foi calculado o módulo dos desvios de cada modelo em relação a zero, para então comparar suas médias. Isso porque ambos os modelos tinham como objetivo um resultado equilibrado (igual a zero), de modo que o que importa são os desvios em relação a esse objetivo (sejam eles positivos ou negativos). O teste foi realizado sob as seguintes hipóteses:

a) H0: a diferença das médias entre o modelo tradicional e o alternativo é menor ou igual a zero;

b) Hx: a diferença das médias entre o modelo tradicional e o alternativo é maior que zero.

Não foi possível afirmar que o modelo alternativo fosse melhor que o tradicional no nível de 2,5% de significância, como mostra a Tabela 6, a seguir. Foi percebida, no entanto, a presença de um outlier na amostra da estratégia com o modelo alternativo (Figura 2), representado pelo dado referente ao mês de março. O outlier foi detectado com o auxílio do box-plot, a partir da seguinte regra:

a) Fatores superiores a: 3� quartil + 1,5 . (3� quartil -1� quartil)

b) Fatores inferiores a: 1� quartil - 1,5 . (3� quartil -1� quartil)

Desconsiderando-se o outlier, pode-se rejeitar a hipótese de que o modelo tradicional levaria a um desvio menor (em relação a zero) do que o modelo alternativo, baseado nos βn, conforme mostram os dados da Tabela 7.

Em seguida, foram feitos os mesmos testes para a segunda estratégia (Tabela 8).

Neste teste de hipótese também foi calculado o módulo dos desvios de cada modelo em relação ao zero, para então comparar suas médias. Desse modo:

a) H0: a diferença das médias entre o modelo tradicional e o alternativo é menor ou igual a zero;

b) H1: a diferença das médias entre o modelo tradicional e o alternativo é maior que zero.

Também não foi possível afirmar que o modelo alternativo é melhor que o tradicional nessa simulação, no nível de 2,5% de significância, como mostra a Tabela 9. Novamente percebeu-se a presença de um outlier na amostra (Figura 3), representado pelo dado referente ao mês de março.

Realizando-se novo teste sem a inserção do outlier, rejeita-se a hipótese nula de que o modelo tradicional de duration levaria a um resultado médio superior ao do modelo alternativo. Podem-se observar na Tabela 10, a seguir, os resultados referentes a esse teste.

 


Tabela 10 - Clique para ampliar

 

Dessa forma, pode-se sugerir que o modelo alternativo, que utiliza os βn, é superior ao modelo de duration tradicional. O modelo alternativo levou a um resultado médio mais próximo de zero ao longo de um ano de operação, o que foi corroborado pelos testes estatísticos.

 

CONCLUSÃO

Segundo Elton e Gruber (1995), o retorno de títulos de renda fixa pode ser dividido em retorno antecipado, relacionado à passagem do tempo e aos coupons, e retorno não-antecipado, proporcionado por mudanças na yield curve.

O retorno não-antecipado, por sua vez, é proveniente de dois tipos de deslocamentos na yield curve: os deslocamentos utilizados para derivar o conceito de duration tradicional (ou seja, os deslocamentos paralelos) e os demais tipos de deslocamentos na estrutura da taxa de juros (ou seja, os deslocamentos não-paralelos). Os autores partem do pressuposto de que esses "demais tipos" de deslocamentos na yield curve são aleatórios, de modo que o retorno total de um título seria dado pela equação a seguir.


Clique para ampliar

Pela equação, percebe-se que os autores somente consideram retorno não esperado o somatório de deslocamentos paralelos na yield curve (dado pelo produto da duration tradicional pelo shift na curva) e resíduos aleatórios (εi, com valor esperado igual a zero e variância σ2εi, em que estariam inseridos os deslocamentos não-paralelos (twist).

O que este artigo pretendeu demonstrar é que, para o mercado futuro de DI1 da BM&F, tais deslocamentos não-paralelos não são aleatórios, mas, pelo contrário, seguem um padrão. Em outras palavras, o resíduo da equação anterior não segue um processo do tipo white-noise e pode ser modelado por meio da utilização dos diversos βn. Se levarmos em consideração a modelagem dos resíduos, a equação ficaria alterada para:

Os testes realizados provaram que, para o ano de 1996, esse modelo alternativo teve uma melhor aderência à realidade. Administradores de portfólios de renda fixa que utilizassem essa equação modificada para "hedgear" sua posição teriam em média resultados mais próximos de zero do que os conseguidos por meio do modelo de duration tradicional.

É importante ressaltar que alguns pontos deste artigo podem ser objeto de estudos futuros. O cálculo do β, por exemplo, foi realizado por meio dos métodos de mínimos quadrados, mas pode ser questionado se tais métodos seriam realmente o melhor para a estimação dos parâmetros.

Além disso, a estratégia de hedge montada para comparar os dois modelos poderia ser mais eficiente (para ambos os modelos) se fosse mais dinâmica. No teste, a posição foi montada no início de cada mês e mantida inalterada até seu encerramento no final do mês. Somente a passagem do tempo já seria suficiente para que ocorressem rebalanceamentos ao longo do mês para aprimorar o hedge. No caso do modelo alternativo, além do rebalanceamento devido à passagem do tempo, seria aconselhável rebalancear a carteira toda vez que os βn apresentassem alterações (lembrando que o ideal é que o β de cada vencimento fosse calculado ininterruptamente). Isso, certamente, melhoraria ainda mais a performance do modelo alternativo.

Outra sugestão seria realizar os testes da segunda seção deste artigo (teste de β = 1) para outros períodos ou para períodos menores, já que o tamanho relativamente grande da amostra utilizada (um ano) pode ter tornado os testes de hipóteses excessivamente rigorosos.

 

BIBLIOGRAFIA

BESSADA, Octavio. O mercado futuro e de opções. 3. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.

BREALEY, Richard, MYERS, Stewart C. Princípios de finanças empresariais. 3. ed. S. Carlos, Portugal: McGraw-Hill, 1992.

ELTON, Edwin J., GRUBER, Martin J. Modern portfolio theory. 5. ed. New York: John Wiley & Sons, 1995.

GRANGER, Clive W. J. Forecasting in business and economics. 2. ed. Boston: Academic Press, 1989.

HANKE, John E., REITSCH, Arthur G. Business forecasting. 5. ed. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1995.

HULL, John C. Options, futures and other derivatives. 3. ed. Upper Saddle River: Prentice-Hall, 1997.

MAKRIDAKIS, Spyros G. Forecasting methods and applications. 2. ed. New York: John Wiley & Sons, 1983.

MACAULAY, F. R. Some theoretical problems suggested by movements of interest rates, bond yields, and stock prices in the United States since 1856. New York, 1938.

NEWBOLD, Paul. Statistics for business & economics. 4. ed. Upper Saddle River: Prentice-Hall, 1995.

ROGÉ FERREIRA, Luiz Francisco. Uma alternativa aos modelos de duration. Resenha BM&F, no 115, 1997.

VAN HORNE, James C. Financial markets rates & flows. 4. ed. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1994.

 

Creative Commons License This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.